Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai konsep garis dan sudut yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep. Selain itu, soal-soal berikut sering kali dimunculkan dalam Seleksi Kompetensi Dasar SKD atau Tes Potensi Akademik untuk kategori matematika dasar. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF, 392 KB. Today Quote Jangan terus menerus membandingkan diri sendiri dengan orang lain. Itu nggak akan ada habisnya. Bandingkan dirimu hari ini dengan hari kemarin. Jika sudah lebih baik, itu sudah cukup. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Diketahui segitiga $PQR$ dengan $\angle P=45^{\circ}$ dan $\angle Q=45^{\circ}$. Jenis segitiga $PQR$ adalah $\cdots \cdot$ A. segitiga tumpul sama kaki B. segitiga lancip sama kaki C. segitiga lancip sembarang D. segitiga siku-siku sama kaki Pembahasan Jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^{\circ}$. Diketahui $\angle P=45^{\circ}$ dan $\angle Q=45^{\circ}$ sehingga $\angle R = 180-45-45^{\circ} = 90^{\circ}.$ Karena salah satu sudut segitiga memiliki besar $90^{\circ}$, segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku. Karena ada dua sudut yang sama besar, segitiga $PQR$ adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, $PQR$ merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Pada gambar berikut, garis $g$ sejajar dengan $h$ dipotong garis $k.$ Pasangan sudut luar sepihak adalah $\cdots \cdot$ A. $\angle 1$ dan $\angle 5$ B. $\angle 2$ dan $\angle 5$ C. $\angle 4$ dan $\angle 5$ D. $\angle 4$ dan $\angle 6$ Pembahasan Pilihan A $\angle 1$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan. Pilihan B $\angle 2$ dan $\angle 5$ tidak memiliki nama hubungan sudut. Pilihan C $\angle 4$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar sepihak. Pilihan D $\angle 4$ dan $\angle 6$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Perhatikan gambar di bawah. Jika besar $\angle P_1=130^{\circ}$, maka besar $\angle Q_4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $70^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ B. $65^{\circ}$ D. $35^{\circ}$ Pembahasan $\angle P_1$ dan $\angle Q_4$ merupakan pasangan sudut luar sepihak sehingga jumlah besar kedua sudutnya $180^{\circ}.$ $\begin{aligned} \angle P_1 +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ 130^{\circ} +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ \angle Q_4 & = 50^{\circ} \end{aligned}$ Jadi, besar $\boxed{\angle Q_4 = 50^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Besar $\angle QOR$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ B. $40^{\circ}$ D. $80^{\circ}$ Pembahasan Sudut $POR$ dan sudut $QOR$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga berlaku $\begin{aligned} \angle POR + \angle QOR & = 180^{\circ} \\ 4x^{\circ} + 2x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 6x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ x & = 30. \end{aligned}$ Besar sudut $QOR$ adalah $\boxed{2x^{\circ} = 230^{\circ} = 60^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. Besar pelurus sudut $KLN$ adalah $\cdots \cdot$ A. $31^{\circ}$ C. $85^{\circ}$ B. $72^{\circ}$ D. $135^{\circ}$ Pembahasan Sudut $KLN$ dan sudut $MLN$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga berlaku $\begin{aligned} \angle KLN + \angle MLN & = 180^{\circ} \\ 3x+15^{\circ} + 2x+10^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 5x+25^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 5x^{\circ} & = 155^\circ \\ x & = 31. \end{aligned}$ Pelurus sudut $KLN$ adalah sudut $MLN.$ Besar sudut $MLN$ adalah $\boxed{2x+10^{\circ} = 231+10 ^{\circ} = 72^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Dua sudut saling berpelurus. Jika besar sudut pertama sama dengan $8$ kali besar sudut kedua, maka besar sudut pertama dan kedua berturut-turut adalah $\cdots \cdot$ A. $20^{\circ}$ dan $160^{\circ}$ B. $160^{\circ}$ dan $20^{\circ}$ C. $10^{\circ}$ dan $80^{\circ}$ D. $80^{\circ}$ dan $10^{\circ}$ Pembahasan Misalkan besar sudut kedua adalah $x$, maka besar sudut pertama adalah $8x.$ Karena keduanya berpelurus, jumlah sudutnya membentuk $180^{\circ}$ sehingga ditulis $\begin{aligned} x+8x=180^{\circ} & \Leftrightarrow 9x = 180^{\circ} \\ & \Leftrightarrow x = 20^{\circ}. \end{aligned}$ Dengan demikian, besar sudut pertama adalah $\boxed{8x = 820^{\circ} = 160^{\circ}}$, sedangkan besar sudut kedua adalah $\boxed{x = 20^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Perhatikan gambar berikut. Nilai $y$ adalah $\cdots \cdot$ A. $15^{\circ}$ C. $25^{\circ}$ B. $20^{\circ}$ D. $35^{\circ}$ Pembahasan Sudut $4x$ dan $6x – 40^{\circ}$ sehadap sehingga besar sudutnya sama. Jadi, kita tulis $\begin{aligned} 4x & = 6x -40^{\circ} \\ -2x & = -40^{\circ} \\ x & = 20^{\circ}. \end{aligned}$ Dengan demikian, $4x = 420^{\circ} = 80^{\circ}.$ Pelurus sudutnya adalah $180^{\circ} -80^{\circ} = 100^{\circ}.$ Karena $100^{\circ}, 55^{\circ}$, dan $y$ merupakan besar tiga sudut dalam segitiga, berlaku $y = 180-100-55^{\circ} = 25^{\circ}.$ Jadi, nilai $y$ adalah $\boxed{25^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Perhatikan gambar berikut. Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $153^{\circ}$ C. $118^{\circ}$ B. $145^{\circ}$ D. $62^{\circ}$ Pembahasan Tarik garis baru yang sejajar dengan kedua garis yang ada seperti tampak pada gambar berikut. Perhatikan bahwa sudut $27^{\circ}, 35^{\circ},$ dan $x$ membentuk sudut berpelurus sehingga $x = 180-27-35^{\circ} = 118^{\circ}.$ Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan gambar berikut. Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $90^{\circ}$ C. $70^{\circ}$ B. $80^{\circ}$ D. $60^{\circ}$ Pembahasan Bentuklah segitiga siku-siku seperti gambar berikut. Besar sudut $DEC$ adalah $180-142^{\circ} = 38^{\circ}.$ Dari gambar, diperoleh $\begin{aligned} \angle BCA &= 180-90-42^{\circ} = 48^{\circ} \\ \angle DCE & = 180-90-38 = 52^{\circ}. \end{aligned}$ Sudut $DEC, DCE$, dan sudut $x$ membentuk sudut berpelurus sehingga berlaku $x = 180-48-52^{\circ} = 80^{\circ}.$ Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Perhatikan gambar berikut. Besar sudut nomor $1$ adalah $95^{\circ}$ dan besar sudut nomor $2$ adalah $110^{\circ}$. Besar sudut nomor $3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5^{\circ}$ C. $25^{\circ}$ B. $15^{\circ}$ D. $35^{\circ}$ Pembahasan Sudut nomor $1$ dan $4$ merupakan sudut berseberangan sehingga besar sudutnya sama. Sudut nomor $4$ dan $5$ merupakan sudut sehadap sehingga besar sudutnya juga sama. Dengan demikian, $\angle 1 = \angle 4 = \angle 5 = 95^{\circ}.$ Sudut nomor $2$ dan $6$ saling berpelurus sehingga $\begin{aligned} \angle 6 & = 180^\circ -\angle 2 \\ & = 180-110^{\circ} \\ & = 70^{\circ}. \end{aligned}$ Sudut nomor $3, 5,$ dan $6$ merupakan tiga sudut dalam segitiga sehingga jumlah sudutnya $180^{\circ}.$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \angle 3 & = 180^\circ -\angle 5 -\angle 6 \\ & = 180 -95-70^{\circ} = 15^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut nomor $3$ adalah $\boxed{15^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Perhatikan gambar berikut. Besar sudut $BAC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ B. $40^{\circ}$ D. $90^{\circ}$ Pembahasan Sudut $ABC$ dan sudut $DBC$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga $\begin{aligned} \angle ABC & = 180^\circ -\angle DBC \\ & = 180-140^{\circ} \\ & = 40^{\circ}. \end{aligned}$ Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga $\begin{aligned} \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA & = 180^{\circ} \\ y + 10^{\circ} + 40^{\circ} + 2y + 10^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3y + 60^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3y & = 120^{\circ} \\ y & = 40^{\circ}. \end{aligned}$ Besar sudut $BAC$ adalah $\boxed{y + 10^{\circ} = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 12 Perhatikan gambar belah ketupat $ABCD$ di bawah. Jika $\angle A \angle B= 1 2,$ besar $\angle C = \cdots \cdot$ A. $60^{\circ}$ C. $120^{\circ}$ B. $90^{\circ}$ D. $150^{\circ}$ Pembahasan Dalam belah ketupat, jumlah besar sudut $A$ dan sudut $B$ adalah $180^{\circ}$. Karena $\angle A = \angle C,$ diperoleh $\begin{aligned} \angle C & = \dfrac{1}{1+2} \times 180^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{3} \times 180^{\circ} = 60^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $C$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 13 Pada gambar di bawah, $O$ merupakan pusat lingkaran. Jika besar $\angle BAC=40^{\circ}$, maka besar $\angle BOC = \cdots \cdot$ A. $40^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ B. $50^{\circ}$ D. $80^{\circ}$ Pembahasan $\angle BAC$ dan $\angle BOC$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $BC$. $\angle BAC$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \angle BOC & = 2 \times \angle BAC \\ & = 2 \times 40^{\circ} \\ & = 80^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $BOC$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Perhatikan gambar lingkaran berikut. Diketahui $O$ adalah titik pusat lingkaran. Besar sudut $AOB$ adalah $\cdots \cdot$ A. $15^{\circ}$ C. $45^{\circ}$ B. $30^{\circ}$ D. $60^{\circ}$ Pembahasan $\angle ACB$ dan $\angle AOB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB.$ $\angle ACB$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle AOB$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \angle AOB & = 2 \times \angle ACB \\ & = 2 \times 30^{\circ} \\ & = 60^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $AOB$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 15 Perhatikan gambar berikut. Titik $O$ merupakan titik pusat lingkaran. Besar sudut $EDB$ adalah $\cdots \cdot$ A. $37,5^{\circ}$ C. $55^{\circ}$ B. $52,5^{\circ}$ D. $105^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\angle BOC = 105^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $BOE$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus jumlah sudutnya $180^{\circ}$ sehingga $\begin{aligned} \angle BOE & = 180^{\circ} -\angle BOC \\ & = 180-105^{\circ} \\ & = 75^{\circ}. \end{aligned}$ Sekarang, perhatikan bahwa sudut $BOE$ dan sudut $EDB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $EB$, dengan sudut $BOE$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $EDB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku $\begin{aligned} \angle EDB & = \dfrac{1}{2} \times \angle BOE \\ & = \dfrac12 \times 75^{\circ} \\ & = 37,5^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $EDB$ adalah $\boxed{37,5^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Perhatikan gambar berikut. Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Garis $AC$ adalah diameter. Besar sudut $ADB$ adalah $\cdots \cdot$ A. $37^{\circ}$ C. $74^{\circ}$ B. $53^{\circ}$ D. $106^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\angle BOC = 74^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $AOB$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus jumlah sudutnya $180^{\circ}$ sehingga $\begin{aligned} \angle AOB & = 180^{\circ} -\angle BOC \\ & = 180-74^{\circ} \\ & = 106^{\circ}. \end{aligned}$ Sekarang, perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ADB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$, dengan sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku $\begin{aligned} \angle ADB & = \dfrac{1}{2} \times \angle AOB \\ & = \dfrac12 \times 106^{\circ} \\ & = 53^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $ADB$ adalah $\boxed{53^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 17 Perhatikan gambar berikut. Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Besar $\angle ACB$ adalah $\cdots \cdot$ A. $50^{\circ}$ C. $75^{\circ}$ B. $65^{\circ}$ D. $130^{\circ}$ Pembahasan Karena $r = AO = BO$, segitiga $AOB$ merupakan segitiga sama kaki sehingga $\angle ABO = \angle BAO = 25^{\circ}.$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ},$ berarti $\angle AOB = 180-25-25^{\circ} = 130^{\circ}.$ Perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ACB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ACB$ sebagai sudut keliling. Untuk itu, berlaku $\begin{aligned} \angle ACB & = \dfrac12 \times \angle AOB \\ & = \dfrac12 \times 130^{\circ} = 65^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $ACB$ adalah $\boxed{65^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Soal Nomor 18 Perhatikan gambar berikut. Titik $P$ adalah titik pusat lingkaran. Jika $\angle AEB+ \angle ADB+ \angle ACB=228^{\circ},$ besar $\angle APB$ adalah $\cdots \cdot$ A. $228^{\circ}$ C. $109^{\circ}$ B. $152^{\circ}$ D. $76^{\circ}$ Pembahasan Sudut $AEB, ADB$, dan $ACB$ merupakan sudut keliling yang semuanya menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Untuk itu, besar sudutnya juga sama. Misalkan $\angle AEB = \angle ADB = \angle ACB = x$ sehingga $\begin{aligned} \angle AEB+ \angle ADB+ \angle ACB & =228^{\circ} \\ x+x+x & = 228^{\circ} \\ 3x & = 228^{\circ} \\ x & = 76^{\circ}. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa sudut $APB$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AB$ sehingga berlaku $\angle APB = 2x = 276^{\circ} = 152^{\circ}.$ Jadi, besar sudut $APB$ adalah $\boxed{152^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 19 Perhatikan gambar berikut. Diketahui sudut $KAL$ besarnya $38^{\circ},$ sudut $LBM$ besarnya $24^{\circ},$ maka besar sudut $KLM$ adalah $\cdots \cdot$ A. $62^{\circ}$ C. $124^{\circ}$ B. $118^{\circ}$ D. $236^{\circ}$ Pembahasan Buat titik baru, sebut saja titik $P$ seperti gambar. Karena sudut $KAL$ dan $LBM$ berturut-turut menghadap busur $KL$ dan $LM$, sudut $KPM$ yang menghadap busur $KL + LM = KM$ memiliki besar $\angle KAL + \angle LBM = 38^{\circ} + 24^{\circ} = 62^{\circ}.$ Perhatikan segi empat tali busur $KLMP$. Sudut $KLM$ dan sudut $KPM$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$ Dengan demikian, kita peroleh $\begin{aligned} \angle KLM & = 180^{\circ}- \angle KPM \\ & = 180-62^{\circ} = 118^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $KLM$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 20 Perhatikan gambar berikut. Jika besar sudut $AOC = 112^{\circ}$, maka besar sudut $ABC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $124^{\circ}$ C. $68^{\circ}$ B. $114^{\circ}$ D. $56^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\angle AOC = 112^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $AOC$ dan sudut $ADC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku $\begin{aligned} \angle ADC & = \dfrac12 \times \angle AOC \\ & = \dfrac12 \times 112^{\circ} \\ & = 56^{\circ}. \end{aligned}$ Perhatikan segi empat tali busur $ABCD$. Sudut $ABC$ dan sudut $ADC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$ Dengan demikian, kita peroleh $\begin{aligned} \angle ABC & = 180^{\circ} -\angle ADC \\ & = 180-56^{\circ} \\ & = 124^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{124^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Perhatikan gambar berikut. Jika besar sudut $COD = 48^{\circ},$ maka besar sudut $ABC = \cdots \cdot$ A. $108^{\circ}$ C. $122^{\circ}$ B. $114^{\circ}$ D. $132^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\angle COD = 48^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $COD$ dan sudut $AOC$ berpelurus sehingga $\begin{aligned} \angle AOC & = 180^{\circ} -\angle COD \\ & = 180-48^{\circ} \\ & = 132^{\circ}. \end{aligned}$ Perhatikan juga bahwa sudut $AOC$ dan sudut $AEC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $AEC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku $\begin{aligned} \angle AEC & = \dfrac12 \times \angle AOC \\ & = \dfrac12 \times 132^{\circ} \\ & = 66^{\circ}. \end{aligned}$ Perhatikan segi empat tali busur $ABCE$. Sudut $ABC$ dan sudut $AEC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$ Dengan demikian, kita peroleh $\begin{aligned} \angle ABC & = 180^{\circ} -\angle AEC \\ & = 180-66^{\circ} \\ & = 114^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{114^{\circ}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Jika $\dfrac{r}{r+s} = \dfrac58$, berapa nilai $r$ pada gambar di bawah ini? A. $102,\!5$ C. $115,\!0$ B. $112,\!5$ D. $117,\!5$ Pembahasan Perhatikan bahwa $r$ dan $s$ merupakan dua sudut yang saling berpelurus sehingga $r^{\circ}+ s^{\circ}= 180^{\circ}$ atau dapat ditulis $s=180-r.$ Untuk itu, kita tuliskan $\begin{aligned} \dfrac{r}{r+s} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{r+180-r} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{180} & = \dfrac58 \\ r & = \dfrac{180 \times 5}{8} = 112,\!5. \end{aligned}$ Jadi, nilai $r$ sesuai gambar di atas adalah $\boxed{r = 112,\!5}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 23 Besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul $ adalah $\cdots \cdot$ A. $118^{\circ}$ C. $144^{\circ}$ B. $126^{\circ}$ D. $162^{\circ}$ Pembahasan Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut. $\boxed{\text{jam} \times 30^{\circ}~\text{selisih}~\left\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right}$ Dengan demikian, diperoleh $7 \times 30^{\circ} = 210^{\circ}$ dan $\cancelto{6}{12} \times \dfrac{11^{\circ}}{\cancel{2}} = 66^{\circ}.$ Jadi, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{210^{\circ}-66^{\circ} = 144^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 24 Besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam pada pukul $ adalah $\cdots \cdot$ A. $50,5^{\circ}$ C. $60,5^{\circ}$ B. $55,5^{\circ}$ D. $65,5^{\circ}$ Pembahasan Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut. $\boxed{\text{jam} \times 30^{\circ}~\text{selisih}~\left\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right}$ Dengan demikian, diperoleh $11 \times 30^{\circ} = 330^{\circ}$ dan $49 \times \dfrac{11^{\circ}}{2} = 269,5^{\circ}.$ Jadi, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{330^{\circ}-269,5^{\circ} = 60,5^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 25 Diketahui sebuah bintang dibentuk dari sejumlah segitiga sama sisi di setiap sisi sebuah segi sembilan nonagon beraturan. Berapakah jumlah dari besar sudut yang ditandai dengan warna merah muda? A. $540^{\circ}$ C. $900^{\circ}$ B. $720^{\circ}$ D. $990^{\circ}$ Pembahasan Pada segisembilan, besar sudut masing-masing juring pembentuknya adalah $\dfrac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ}.$ Karena segitiga yang terbentuk dari juring tersebut berbentuk segitiga sama kaki, besar sudut kakinya adalah $\dfrac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}.$ Catatan Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}.$ Untuk itu, besar tiap sudut yang terbentuk oleh segisembilan adalah $2 \times 70^{\circ} = 140^{\circ}.$ Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya. Catatan Besar semua sudut pada segitiga sama sisi adalah $60^{\circ}.$ Besar sebuah sudut merah muda itu adalah $360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}-140^{\circ} = 100^{\circ}.$ Karena ada $9$ sudut yang sama, jumlahnya sebesar $9 \times 100^{\circ} = 900^{\circ}.$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 26 Perhatikan gambar berikut. Hasil dari $\angle 1 + \angle 2 + \cdots + \angle 8 = \cdots \cdot$ A. $360^{\circ}$ C. $720^{\circ}$ B. $480^{\circ}$ D. $ Pembahasan Dengan menggunakan prinsip sudut yang saling bertolak belakang, kita peroleh $\begin{aligned} \angle 1 & = \angle2 \\ \angle 3 & = \angle 4 \\ \angle 5 & = \angle 6 \\ \angle 7 & = \angle 8. \end{aligned}$ Kita akan menggunakan fakta bahwa jumlah besar sudut dalam segi empat sembarang selalu $360^{\circ}$. segi empat yang dipakai adalah segi empat yang dibatasi oleh keempat garis pada gambar. Dengan menggunakan $\angle 2, \angle 3, \angle 6$, dan $\angle 7$, diperoleh $$\begin{aligned} 180^{\circ}-\angle 2 + 180^{\circ}-\angle 3 + 180^{\circ}-\angle 6 + 180^{\circ}-\angle 7 & = 360^{\circ} \\ -\angle 2-\angle 3-\angle 6-\angle 7 & = -360^{\circ} \\ \angle 2 + \angle 3 + \angle 6 + \angle 7 & = 360^{\circ}. \end{aligned}$$Berdasarkan prinsip sudut bertolak belakang tadi, kita peroleh juga $\angle 1 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 8 = 360^{\circ}.$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \angle 1 + \angle 2 + \cdots + \angle 8 & = 360^{\circ} + 360^{\circ} \\ & = 720^{\circ}. \end{aligned}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 27 Perhatikan gambar berikut. Hasil penjumlahan sudut $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9$ adalah $\cdots \cdot$ A. $540^{\circ}$ C. $900^{\circ}$ B. $720^{\circ}$ D. $1080^{\circ}$ Pembahasan Kita beri nama setiap titik sudut yang ada seperti gambar di bawah. Perlu diketahui sebelumnya bahwa jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ},$ segi empat $360^{\circ},$ dan segi lima $540^{\circ}.$ Misalkan, $x, y, z$ adalah besar sudut pada segitiga biru sedemikian sehingga $x+y+z=180^{\circ}.$ Pada segi empat $ABCD,$ berlaku $\angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + x = 360^{\circ}.$ Pada segitiga $EFG$, berlaku $\angle 1 + \angle 2 + y = 180^{\circ}.$ Pada segi lima $HIJKL$, berlaku $\angle 6 + \angle 7 + \angle 8 + \angle 9 + z = 540^{\circ}.$ Sekarang, jumlahkan ketiga persamaan tersebut dan kita peroleh $$\begin{aligned} \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + x + y + z & = 360^{\circ}+180^{\circ}+540^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + \cancel{180^{\circ}} & = 900^{\circ} + \cancel{180^{\circ}} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 & = 900^{\circ}. \end{aligned}$$Jadi, hasil penjumlahan kesembilan sudut tersebut adalah $\boxed{900^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 28 Pada gambar berikut, $ABCD$ merupakan jajar genjang. Jika jumlah sudut $a+b=105^{\circ}$, maka jumlah sudut $p+q+r+s=\cdots \cdot$ A. $225^{\circ}$ C. $255^{\circ}$ B. $245^{\circ}$ D. $280^{\circ}$ Pembahasan Perlu diperhatikan bahwa $$\boxed{\begin{aligned} \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{itiga} & = 180^{\circ} \\ \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{iempat} & = 360^{\circ} \end{aligned}}$$Diketahui $a+b=105^{\circ}.$ Karena itu, pada $\triangle ABG$, didapat $\begin{aligned} \angle A & = 180^{\circ}-a+b \\ & = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}. \end{aligned}$ Karena $ABCD$ jajar genjang, besar sudut $\color{blue}{b+q = 180^{\circ}-75^{\circ} = 105^{\circ}}.$ Pada $\triangle EFG$, besar $\angle EGF = \angle AGB = a$ karena bertolak belakang sehingga $\color{red}{r+s = 180^{\circ}-a}.$ Sekarang, perhatikan segi empat $BCDG$ yang jumlah semua sudutnya adalah $360^{\circ}.$ $$\begin{aligned} \angle B + \angle C + \angle D + \angle G & = 360^{\circ} \\ q + p + b + q + 180^{\circ}-a & = 360^{\circ} \\ \color{red}{180^{\circ}-a}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{b+q} \\ \color{red}{r+s}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{105^{\circ}} \\ p+q+r+s & = 255^{\circ} \end{aligned}$$Jadi, jumlah sudut $\boxed{p+q+r+s=255^{\circ}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 29 Enam persegi disusun membentuk persegi panjang seperti gambar di bawah. Jumlah besar sudut $b$ dan $c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $15^\circ$ C. $45^\circ$ B. $30^\circ$ D. $60^\circ$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Posisikan titik $A, B$, dan $C$ seperti gambar. Tarik garis $AC$ warna merah. Panjang garis $AB$ dan $AC$ adalah sama sehingga segitiga $ABC$ sama kaki. Karena $\angle BAC$ siku-siku, $\angle ABC = \angle BCA = 45^\circ.$ Ini berarti, jumlah besar sudut $B$ dan $C$ adalah $\boxed{45^\circ}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 30 Segitiga $ABC$ adalah segitiga sama kaki dengan besar $\angle ABC = x^\circ.$ Jika jumlah semua kemungkinan besar $\angle BAC$ adalah $240^\circ,$ maka nilai $x = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $30$ B. $20$ D. $40$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan berbeda untuk besar $\angle BAC$ berdasarkan penempatan posisi titik sudut segitiga seperti yang tampak pada gambar berikut. Ingat bahwa besar sudut di depan sisi segitiga yang sama panjang adalah sama. Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ.$ Diketahui $\angle ABC = \angle B = x^\circ.$ Kita akan mencari besar $\angle BAC = \angle A$ untuk masing-masing kemungkinan. Kemungkinan 1 $\angle B = \angle C = x^\circ$ sehingga $$\begin{aligned} \angle A & = 180^\circ-\angle B + \angle C \\ & = 180^\circ-x^\circ+x^\circ \\ & = \color{red}{180^\circ-2x^\circ}. \end{aligned}$$Kemungkinan 2 $\angle B = \angle A = \color{blue}{x^\circ}$ karena kedua sudutnya terletak di sisi yang panjangnya sama. Kemungkinan 3 $\angle B = x^\circ$, sedangkan $\angle A = \angle C$ sehingga dapat kita tuliskan $$\begin{aligned} \angle A & = \dfrac{180^\circ-\angle B}{2} \\ & = \color{green}{\dfrac{180^\circ-x^\circ}{2}}. \end{aligned}$$Karena diketahui jumlah semua kemungkinan besar $\angle BAC$ adalah $240^\circ,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \color{red}{180^\circ-2x^\circ} + \color{blue}{x^\circ} + \color{green}{\dfrac{180^\circ-x^\circ}{2}} & = 240^\circ \\ -x^\circ + \dfrac{180^\circ-x^\circ}{2} & = 60^\circ \\ -2x^\circ + 180^\circ-x^\circ & = 120^\circ \\ -3x^\circ & = -60^\circ \\ x & = 20. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{20}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 31 IOS 2021 Tingkat SMA – POSI Perhatikan gambar di bawah ini. $C$ adalah titik pusat lingkaran. Titik $A, B, D,$ dan $E$ berada di sisi lingkaran. Diketahui $\angle BCD = 200^\circ,$ $\angle DCA = x^\circ,$ dan $\angle BCA = 3x^\circ.$ Berapakah rasio dari $\angle DAC \angle BAC?$ A. $3 1$. D. $7 4$. B. $5 2$. E. $7 3$. C. $8 3$. Pembahasan Perhatikan bahwa jumlah sudut yang mengitari titik pusat lingkaran bernilai $360^\circ$ satu putaran penuh sehingga kita tuliskan $$\begin{aligned} x^\circ + 3x^\circ + 200^\circ & = 360^\circ \\ 4x^\circ & = 160^\circ \\ x & = 40. \end{aligned}$$Perhatikan $\triangle ACD$ dengan $\angle ACD = 40^\circ.$ Diketahui bahwa $AC = DC$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran sehingga segitiga itu sama kaki dengan $$\angle DAC = \dfrac{180^\circ-40^\circ}{2} = 70^\circ.$$Hal yang sama juga berlaku untuk $\triangle BCA$ dengan $\angle BCA = 120^\circ.$ Diketahui bahwa $AC = BC$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran sehingga segitiga itu sama kaki dengan $$\angle BAC = \dfrac{180^\circ-120^\circ}{2} = 30^\circ.$$Dengan demikian, rasio dari $\angle DAC \angle BAC$ adalah $\boxed{70^\circ 30^\circ = 7 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 32 Beberapa bangun datar dengan sisi beraturan diposisikan seperti gambar. Jika $AB \parallel VW \parallel CY,$ maka hasil dari $\alpha + \beta$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $108^\circ$ D. $144^\circ$ B. $124^\circ$ E. $156^\circ$ C. $136^\circ$ Pembahasan Ada beberapa konsep yang perlu diketahui terkait jumlah sudut pada segitiga, segi empat, segi lima, dan segi enam. Jumlah sudut pada segitiga sama dengan $180^\circ.$ Jumlah sudut pada segi empat sama dengan $360^\circ.$ Jumlah sudut pada segi lima sama dengan $540^\circ.$ Jumlah sudut pada segi enam sama dengan $720^\circ.$ Dari gambar, terdapat segitiga sama sisi, segi lima beraturan, persegi, dan segi enam beraturan dari kiri ke kanan. Karena jumlah sudut pada segi lima beraturan sama dengan $540^\circ,$ maka setiap sudutnya memiliki besar $540 \div 5 = 108^\circ.$ Perhatikan bahwa $AB$ sejajar dengan $VW$ sehingga $\alpha = \angle V = 108^\circ.$ Berikutnya, kita akan mencari besar sudut $\beta.$ Dimulai dari titik sudut $Y,$ kita bisa peroleh $\angle EYF = 180^\circ-108^\circ \div 2^\circ = 36^\circ.$ Pada segi enam beraturan, besar sudut masing-masingnya adalah $720^\circ \div 6 = 120^\circ$ sehingga $\angle FGH = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ$ sudut berpelurus. Hal demikian juga berlaku untuk $\angle FHG = 60^\circ.$ Karena $FGH$ adalah segitiga sehingga jumlah sudut di dalamnya harus $180^\circ$, $\angle HFG$ juga memiliki besar $60^\circ.$ Berikutnya, kita bisa dapatkan $\angle EFY = 30^\circ$ sudut berpelurus. Pada $\triangle YEF,$ $\angle YEF = 180^\circ-36^\circ-30^\circ = 114^\circ.$ Akibatnya, $\angle DEX = 114^\circ$ karena sudut berseberangan. $WDEX$ adalah segi empat sehingga jumlah sudutnya $360^\circ.$ $$\begin{aligned} \beta + 90^\circ + 108^\circ + 114^\circ & = 360^\circ \\ \beta + 312^\circ & = 360^\circ \\ \beta & = 48^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $\alpha + \beta$ sama dengan $\boxed{108^\circ + 48^\circ = 156^\circ}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 33 Garis isogonal isogonal line diartikan sebagai garis yang melalui suatu titik sudut dan simetrik membuat sudut sama terhadap garis bagi sudut tersebut. Misalkan dua ruas garis membentuk sudut $60^\circ.$ Besar sudut terkecil yang dibentuk oleh garis isogonal terhadap garis bagi itu adalah $\cdots \cdot$ A. $120^\circ$ D. $30^\circ$ B. $60^\circ$ E. $15^\circ$ C. $45^\circ$ Pembahasan Konstruksikan gambarnya seperti berikut. Sebagai pelengkap, garis bagi adalah garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar. Sesuai dengan definisi tersebut, sudut terkecil yang dibentuk oleh garis bagi terhadap salah satu ruas garis adalah $30^\circ.$ Karena garis diagonal membagi sudutnya menjadi dua sama besar lagi, besar sudut terkecil yang dibentuk oleh garis isogonal terhadap garis bagi itu adalah $30^\circ \div 2 = 15^\circ.$ Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah ukuran sudut yang diwakili huruf pada gambar berikut. Pembahasan Jawaban a $ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$ $\begin{aligned} x + 120^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ y + 88^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 92^{\circ} \end{aligned}$ Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $80^{\circ}$ dan $92^{\circ}.$ Jawaban b $ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$ Sudut $A$ berhadapan dengan sudut $C,$ artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}.$ Bisa dikatakan bahwa besar $a$ sama dengan besar sudut pelurus $DCB$, yaitu $122^{\circ}$. Selanjutnya, $76^{\circ} + b = 180^{\circ} \Leftrightarrow b = 104^{\circ}.$ Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $a$ dan $b$ berturut-turut adalah $122^{\circ}$ dan $104^{\circ}.$ Jawaban c $ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$ $\begin{aligned} x + 140^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 40^{\circ} \\ y + 135^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 45^{\circ} \end{aligned}$ Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $40^{\circ}$ dan $45^{\circ}.$ Jawaban d $ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$ Sudut $B$ berhadapan dengan sudut $D,$ artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}.$ Bisa dikatakan bahwa besar $y$ sama dengan besar sudut pelurus $ADC$, yaitu $100^{\circ}.$ Selanjutnya, $\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \\ 3x & = 180^{\circ} \\ x &= 60^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut yang diwakili huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $100^{\circ}.$ Jawaban e Karena sudut-sudut tersebut terbentuk dari segi empat tali busur lingkaran, berlaku $\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ 4y+y & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 36^{\circ}. \end{aligned}$ Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $36^{\circ}.$ Jawaban f $ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga berlaku $x+3x=180^{\circ} \Leftrightarrow x = 45^{\circ}.$ Karena $B$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur $AC$, sedangkan $AOC$ adalah sudut pusatnya, berlaku $a = \angle AOC = 2x = 245^{\circ} = 90^{\circ}.$ Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $a$ berturut-turut adalah $45^{\circ}$ dan $90^{\circ}.$ [collapse]